Russo–Seymour–Welsh estimates for the Kostlan ensemble of random polynomials

Partant des prédictions de Bogomolny–Schmit pour les ondes planaires aléatoires, dans années récentes relations profondes sont apparues entre lignes niveau champs aléatoires Gaussiens réguliers et la percolation. En théorie percolation, un ingrédient clé l’analyse connectivité globale est famille bornes indépendantes en échelle sur probabilités croisement le régime critique, connues sous nom d’estimées Russo–Seymour–Welsh (RSW). De même façon, établir estimées du type RSW ensembles nodaux une étape majeure compréhension rigoureuse ces relations. L’ensemble Kostlan modèle important polynômes homogènes Gaussiens. nodal naturel hypersurface projective réelle typique, dont peut être vu comme version statistique 16ème problème Hilbert. Dans cet article, nous établissons dimension 2, montrant ainsi relation courbes algébriques Les uniformes degré polynôme, valables toutes échelles pertinentes ; ceci, particulier, résout question posée récemment par Beffara–Gayet. Plus généralement, nos arguments conduisent à large classe d’ensembles fonctions régulières sphère ou tore plat.